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与球有关的结合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.

1.球与正方体

3.球与锥体

规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

(1)球与四面体

正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系.

(2)球与正棱锥

球与正棱锥的组合,常见的有两类,

一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.

二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径R.这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积之和为正三棱锥的体积.

综合上面的几种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作;把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解.如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.

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